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TensorFlow Probability で作る変分オートエンコーダ(VAE)
2019年4月10日水曜日
この記事は
Ian Fischer、Alex Alemi、Joshua V. Dillon と TFP チーム
による TensorFlow - Medium の記事 "
Variational Autoencoders with Tensorflow Probability Layers
" を元に翻訳・加筆したものです。詳しくは元記事をご覧ください。
投稿者: Ian Fischer、Alex Alemi、Joshua V. Dillon と TFP チーム
2019 年の TensorFlow Developer Summit では、TensorFlow Probability(TFP)が
発表されました
。その際のプレゼンテーションでは、ほんのわずかなコードで強力な回帰モデルを構築する方法を紹介しました。この記事では、TFP を使うことで変分オートエンコーダ(VAE)の実装がどれだけ簡単になるかを解説します。
TensorFlow Probability
TFP は、
Keras
とディープ ネットワークを使って確率分布を生成する高レベル API を提供します。この API を使うと、ディープ ラーニングと確率的プログラミングを組み合わせたモデルを簡単に構築できます。たとえば、確率分布のパラメータを決めるのにディープ ネットワークの出力を使えます。以下では、この TFP のアプローチを紹介します。
変分オートエンコーダと ELBO
変分
オートエンコーダ
(VAE)は、
協調フィルタリング
、
イメージ圧縮
、
強化学習
、
音楽
や
スケッチ
の生成などのさまざまな領域で使われいるポピュラーな生成モデルです。
VAE の応用といえば、潜在変数による生成モデルなどのデータ生成が思い浮かびます。そこで、
MNIST
にある数字を書く処理について考えてみましょう。
あなたがペンで数字を書くとき、まずはどの数字を書くかを決め、頭の中で漠然とした図を思い浮かべるはずです。次に、ペンを紙につけて、実際の世界でその図を描こうとします。この 2 つのステップは、次のように定義できます。
サンプルとして、 潜在表現
z
を選びます。これは、事前確率分布
z ~ p
(
z
) の中から選ばれます。これが、頭の中にある漠然とした図です。ここでは、「3」としましょう。
サンプルに基づき、実際の図としての表現
x
を書きます。これは、自身を確率過程
x ~ p
(
x|z
) としてモデリングしたものです。これにより、「3」を書くたびに少しずつ違ったものができる仕組みを表せます。
このように、手書き数字を書くときに毎回生じる変化について、そのある部分は何らかの
シグナル
(例えば MNIST の数字の種類)によるものであり、その他の部分は
ノイズ
によるものと考えます。例えば同じ人が書いた同じ数字のサンプルでも、厳密な線の角度は毎回異なります。VAE とは、大まかに言えば、このシグナルとノイズのそれぞれについて明確なモデルを与え、ノイズからシグナルを分離しようという試みです。
この考えに基づいた学習を行うために、次の ELBO(変分下限)を最大化する損失関数を定義します。
ここで、3 つの確率密度関数は以下を表します。
p
(
z
) - 潜在表現
z
の
事前確率
q
(
z|x
) -
変分エンコーダ
p
(
x|z
) -
デコーダ
— 潜在的表現
z
が与えられた場合の画像
x
の確率
ELBO は、観測されたデータポイントの対数確率 log
p
(
x
) の下限を表します。この式の最初の積分は、
復元
項です。画像
x
が
z
にエンコードされ、さらにデコードされて元の
x
を復元できる確率を表します。第 2 項は、
KL ダイバージェンス
項です
。エンコーダと事前確率がどのくらい近いかを測る式であり、エンコーダのシンプルさを保つためのものと言えます。ある事前確率のもとで尤度の低い
z
をエンコーダが生成すると、ELBO の値も低くなります。そのため、エンコーダーと事前確率に差が生じるのは、復元項を上回る効果が得られる場合に限られます。
コード
以上の説明から、
事前確率 p(z)
、
変分エンコーダ q(z|x)
、
デコーダ p(x|z)
という 3 つの異なるコンポーネントを個々にモデリングする方法が自然だとわかります。
こちらの colab
を使うと、MNIST に対する VAE の学習をクラウド上の GPU で数分で実行できます。
事前確率
通常、VAE で使われる最も単純な事前確率は、等方性ガウス分布です。
https://medium.com/media/c2a4ec221f5d71a7babf5cfb2807f8a4/href
ここでは、学習パラメータのない独立したガウス分布を TFP で定義し、潜在変数
z
が 16 次元となるように指定しています。
エンコーダ
エンコーダ分布には、完全共分散ガウス分布を使います。平均および共分散行列は、ニューラル ネットワークの出力によってパラメータ化されています。複雑に聞こえるかもしれませんが、TFP レイヤーを使えばとても簡単に表現できます。
https://medium.com/media/6e497f1c3194c1a5fd01c6597758104a/href
エンコーダは通常の Keras Sequential モデルで、畳み込み層と全結合層からできています。ただし、出力は TFP レイヤー MultivariateNormalTril() に渡されます。これは、最後の Dense() 層による活性化を、Multivariate Normal のパラメータとなる平均および(下三角)共分散行列の両方を指定するために必要な部分へとそのまま分割します。Dense() 層に正しい数の活性化(分布のパラメータ)を出力させるために、ヘルパー tfpl.MultivariateNormalTriL.params_size(encoded_size) を使いました。最後に、分布が最終的な損失に対する正則化項として寄与するよう指定します。具体的には、エンコーダと事前確率との間の KL ダイバージェンスを追加します。これは、前述の ELBO の
KL 項
です(ちなみに、引数 weight を 1 以外のものに変えるだけで、この VAE を
β
-VAE
に変更できます)。
デコーダ
デコーダには、単純な「平均場デコーダ」を使います。今回の場合、これはピクセル間で独立したベルヌーイ分布になります。
https://medium.com/media/48871b7fcb7e9be3f3db1f05719e37b5/href
この書き方は基本的にエンコーダと同じです。しかし、潜在表現を取得するために転置した畳み込み(16 次元ベクトル)を使っているので、それを 28 x 28 x 1 のテンソルに変換します。最終的なテンソルは、ピクセル間で独立したベルヌーイ分布のパラメータを表します。
損失関数
ここまでで、完全なモデルを構築して残りの損失関数を指定する準備ができました。
https://medium.com/media/acb805a6628458423d1e93d0e969d248/href
このモデルは、エンコーダとデコーダの組み合わせを出力として指定した単純な Keras モデルです。エンコーダ部分ですでに損失として KL 項を追加しているので、指定する必要があるのは復元項だけです(前述の ELBO の第 1 項)。
https://medium.com/media/38497256890e4c3d5dcfc5bff817b008/href
この損失関数には、2 つの引数があります。元の入力
x
と、モデルの出力です。これは確率変数なので
rv_x
と記しています。この例は、TFP レイヤーの内側でどのような「魔法」が働いているか表しています。Keras と TensorFlow からは、TFP が単にテンソルを出力するレイヤーとして見える一方で、TFP レイヤーの実際の中身は
Distribution
オブジェクトで構成されています。そのため、モデルに与えられたデータに対する負の対数尤度 -rv_x.log_prob(x) を損失関数として指定できる仕組みです。
TFP の内側
Keras の中にシームレスに組み込まれた TFP レイヤーが実際にどのような処理を実行しているのか、もう少し詳しく見てみましょう。前述のように、TFP レイヤーは実際には Distribution オブジェクトを出力します。これは、次のコードで確かめることができます。
https://medium.com/media/3209b216d549e7d50f1b2f951cf07160/href
しかし、TFP レイヤーが Distribution を返すとすれば、decoder_model(encoder_model.outputs[0])) と書いてエンコーダの出力とデコーダを組み合わせる際には何が起きているのでしょうか。エンコーダの返す Distributionが Keras からは Tensor として見えるようにするため、TFP レイヤーはその分布から具体的なデータポイントをサンプリングします。つまり Keras が見ているのは、Distribution に対して encoder_model.sample() を呼んだときに得られる Tensor です。一方で、損失関数で rv_x.log_prob(x) を呼び出すときのように、Distribution として直接アクセスする必要がある場合は、そうすることも可能です。TFP レイヤーは、確率分布としてもテンソルとしてもふるまえるので、Keras の中でシームレスに取り扱えます。
モデルの学習
このモデルの学習は、Keras モデルの学習と同じように簡単で、vae_model.fit() を呼ぶだけです。
https://medium.com/media/e6cb66721c75f6cb903f0329f9724238/href
このモデルでは、およそ 115 nat の ELBO を実現できます(
nat
はビットの自然対数です。115 nat はおよそ 165 ビット)。もちろん、これは最高のパフォーマンスというわけではありません。しかし、3 つのコンピューティングのいずれについても、この基本設定から始めて、簡単に強化できます。それに、このままでもすでに数字を生成してくれます。
MNIST テストセットのイメージをエンコードして生成したデコーダ最頻値
事前確率をサンプリングして生成したデコーダ最頻値
まとめ
このブログ記事では、ディープ ラーニングと確率的プログラミングを組み合わせる方法について紹介し、TFP レイヤーを使って Keras の Sequential モデルの出力を TFP の確率分布に渡す VAE を構築しました。テンソルとしても確率分布としてもふるまえる TFP レイヤーを用いることで、シンプルなコードを記述できることがお分かりいただけたと思います。
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